De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat

vragen bekijken

een vraag stellen

hulpjes

zoeken

FAQ

links

twitter

boeken

help

inloggen

colofon

Reageren...

Re: Omschrijven formule

Men stapelt kubussen opeen. De eerste kubus heeft een ribbe van 1 m de tweede van 1/2 m, de derde een van 1/3 m enz.

Bestaat er een gebouw waarin men deze kubussen zou kunnen opstellen? Kan men een beperkte hoeveelheid verf kopen om deze kubussen te schilderen?

Antwoord

Vraag 1 komt neer op de de vraag of de som 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 ....... eindig is. Dat is dus niet het geval.
Als volgt kun je dat zien: in de onderstaande figuur is de som van de bovenstaande reeks terug te vinden als de totale oppervlakte Opp van de getekende rechthoeken.



Uit de tekening blijkt dat Opp ₁ò^¥ 1/x dx = ln x ₁]^¥ en dit wordt dus zelf oneindig groot. Hiermee is aangetoond dat de oorspronkelijke reeks onbegrensd is.

De totale oppervlakte van de kubussen is 6 keer 1/1² + 1/2² + 1/3² + 1/4² + ....
De vraag is nu of deze som wel eindig is. En dat is hij inderdaad want:
1/1²+1/2²+1/3²+1/4²+ ..... 1+ 1/(1·2) + 1/(2·3) + 1/(3·4) + ..... =
1+ 1-¹/₂ + ¹/₂ - ¹/₃ + ¹/₃ - ¹/₄ + ...... 2
Dus is de totale oppervlakte kleiner dan 6x2=12
Deze laatste kan overigens ook met een integraal worden afgeschat, uiteraard mag je dat nu zelf proberen.

Toch een erg aardige manier om dit probleem te verpakken

Met vriendelijke groet

JaDeX

Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!

Reactie:
	Klik eerst in het tekstvlak voordat je deze knopjes en tekens gebruikt. Pas op: onderstaande knopjes en speciale karakters werken niet bij ALLE browsers! áâæàåãäßçéêèëíîìïñóôòøõöúûùüýÿ½¼¾€£®© $\forall$$\exists$$\neg$$\wedge$$\vee$$\Leftrightarrow$$\Leftarrow$$\Rightarrow$$\emptyset$$\cap$$\cup$$\supset$$\supseteq$$\not\subset$$\subset$$\subseteq$$\in$$\notin$ $\sim$$\equiv$$\ne$$\pm$$\times$$\div$$\otimes$$\oplus$$\pi$$\leftarrow$$\uparrow$$\to$$\downarrow$ $\sqrt{}$$\sum$$\prod$$\infty$$\smallint$$\Delta$$\nabla$$\partial$$\angle$$\bot$$\cong$$\widehat p$ $\alpha$$\beta$$\gamma$$\delta$$\varepsilon$$\phi$$\theta$$\lambda$$\mu$$\rho$$\sigma$$\tau$$\omega$$\chi$$\Gamma$$\vartheta$$\Lambda$$\Omega$$\Psi$$\zeta$ $\mathbf{N}$ $\mathbf{Z}$ $\mathbf{Q}$ $\mathbf{R}$ $\mathbf{C}$
Categorie:	Formules
Ik ben:	-------------- Maak een keuze --------------- Leerling onderbouw vmbo-havo-vwo Leerling bovenbouw vmbo Leerling bovenbouw havo-vwo Leerling mbo Student hbo Student universiteit 1ste graad ASO-TSO-BSO Overige TSO-BSO 2de graad ASO 3de graad ASO Student Hoger Onderwijs België Student universiteit België Cursist vavo Docent Ouder Iets anders Beantwoorder
Naam:
Emailadres:
Datum:	18-5-2024